4521：[GESP202506八级] 遍历计数
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题目描述
## 题目背景
2025 年 06 月 GESP C++ 八级编程第 2 题
## 题目描述
给定一棵有 $n$ 个结点的树 $T$，结点依次以 $1,2,\dots,n$ 标号。树 $T$ 的深度优先遍历序可由以下过程得到：
1. 选定深度优先遍历的起点 $s$（$1 \leq s \leq n$），当前位置结点即是起点。
2. 若当前结点存在未被遍历的相邻结点 $u$ 则遍历 $u$，也即令当前位置结点为 $u$ 并重复这一步；否则回溯。
3. 按照遍历结点的顺序依次写下结点编号，即可得到一组深度优先遍历序。
第一步中起点的选择是任意的，并且第二步中遍历相邻结点的顺序也是任意的，因此对于同一棵树 $T$ 可能有多组不同的深度优先遍历序。请你求出树 $T$ 有多少组不同的深度优先遍历序。由于答案可能很大，你只需要求出答案对 $10^9$ 取模之后的结果。
## 输入格式
第一行，一个整数 $n$，表示树 $T$ 的结点数。
接下来 $n-1$ 行，每行两个正整数 $u_i, v_i$，表示树 $T$ 中的一条连接结点 $u_i, v_i$ 的边。
## 输出格式
输出一行，一个整数，表示树 $T$ 的不同的深度优先遍历序数量对 $10^9$ 取模的结果。
## 样例
```input1
4
1 2
2 3
3 4
```
```output1
6
```
```input2
8
1 2
1 3
1 4
2 5
2 6
3 7
3 8
```
```output2
112
```
## 数据范围
对于 40% 的测试点，保证 $1 \leq n \leq 8$。
对于另外 20% 的测试点，保证给定的树是一条链。
对于所有测试点，保证 $1 \leq n \leq 10^5$。